Почему именно цифры 4, 2, 1 используются в chmod?

В chmod числа 4, 2 и 1 — веса трёх битов: чтение, запись и выполнение. Их сумма образует восьмеричную цифру прав для владельца, группы или остальных.

rwx соответствует двоичному 111 и восьмеричному 7; r-x — 101 и 5; rw- — 110 и 6. Поэтому chmod 750 file означает rwx владельцу, r-x группе и отсутствие прав у остальных.

У каталогов смысл отличается: чтение позволяет получать имена записей, выполнение — проходить через каталог и обращаться к известным именам, запись связана с изменением записей. Дополнительная старшая цифра может задавать setuid, setgid и sticky bit. Не используйте 777 как универсальное исправление ошибки доступа.