В приведённом коде можно ли поймать исключение try/catch? Как корректно обработать rejected Promise без await?

Обычный try/catch не перехватит последующее отклонение Promise без await; используйте promise.catch(handler) или второй обработчик then.

try/catch поймает синхронный throw при вызове функции, но не ошибку, пришедшую позже по цепочке. Без исходного кода нельзя определить конкретный вывод. Возвращайте цепочку вызывающему коду, чтобы ошибка не стала необработанной и её можно было дождаться.