Если на элемент назначены два CSS-класса с конфликтующими стилями, как сделать стиль одного класса приоритетнее без использования !important?

При равных условиях каскада разместите нужное правило позже либо используйте более специфичный селектор; порядок классов в HTML не решает конфликт.

Например, .button.primary специфичнее .primary, если оба селектора совпадают. Более управляемый вариант — продумать порядок CSS layers или убрать дублирующие обязанности классов. Прежде чем наращивать специфичность, проверьте origin, слои и унаследованные значения. Простая перестановка class="a b" на class="b a" приоритет CSS не меняет.