Есть динамический роутинг: нужно открывать страницу пользователя, при этом сама страница может меняться (например, id в query параметрах). Как можно написать метод отслеживания изменений в роутинге для подгрузки соответствующих данных?

Подпишитесь на изменение конкретного параметра маршрута, а не только на первое монтирование компонента, и защищайтесь от устаревших ответов.

Во Vue можно watch getter нужного route.params/query с immediate; в React — зависимость эффекта или механизм router loader; в Angular — поток paramMap/queryParamMap со switchMap. Валидируйте ID и учитывайте отмену, loading/error и reuse того же компонента.