Можно ли выполнить запрос без использования cookie?

Да, можно.

Для хранения данных сессии вместо cookie можно использовать:

• URL Rewriting: Добавлять идентификатор сессии в URL каждого запроса.
• Скрытые поля формы: Передавать идентификатор сессии в скрытом поле <input type="hidden"> при отправке формы.
• HTTP-заголовки: Отправлять данные сессии в кастомных HTTP-заголовках.
• Локальное хранилище (LocalStorage) или хранилище сессии (SessionStorage) в браузере: Хранить идентификатор сессии на стороне клиента и отправлять его с каждым запросом.

Однако, cookie остаются наиболее распространенным и удобным способом управления сессиями в веб-разработке.